Notas de Eje 2. Razonamiento lógico matemático

 Razonamiento inductivo y deductivo 

El que domina las matemáticas piensa, razona, analiza 

y por ende actúa con lógica en la vida cotidiana,

 por tanto, domina al mundo. 

Arturo Santana Pineda 

Tipos de razonamiento: el inductivo y el deductivo.

El razonamiento inductivo se define como obtener una conclusión general, o conjetura, a partir de observaciones repetidas en ejemplos específicos; dicha conclusión puede llegar a ser verdadera o no. 
Es fácil demostrar que la solución a estos ejemplos es falsa, pues basta con encontrar un ejemplo que así lo compruebe; a ese tipo se le conoce como contraejemplo.

Podemos mencionar, además, el siguiente ejemplo para ilustrar mejor el punto. 
Conjetura: Todos los números primos son impares
 Ejemplo: 2,3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23... Si observamos el conjunto de números, todos son números primos, pero no todos son impares, por lo que podemos crear un contraejemplo para refutar la conjetura. Contraejemplo: El número 2 es un número primo, pero no un número impar.


Observa el siguiente ejemplo de razonamiento inductivo: 


Premisa 1: Alberto tiene 25 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por partidos de izquierda.
Premisa 2: Juan tiene 23 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por partidos de Izquierda. Premisa 3: Alejandro tiene 22 años, vive en la ciudad de México y siempre vota por partidos de izquierda.

Conclusión: Los ciudadanos entre 20 y 25 años que viven en la ciudad de México siempre votan por
partidos de izquierda.
Las premisas anteriores pueden ser refutadas, es decir, demostrarse su falsedad con tan sólo encontrar a una persona de entre 20 y 25 años, que viva en la ciudad de México y que no vote por un partido de izquierda, el cual sería un Contraejemplo. Y es un hecho que no todas las personas de entre 20 y 25 años que viven en la ciudad de México votarán por partidos de izquierda.

Este tipo de razonamiento inductivo es un método potencialmente fuerte para llegar a una conclusión, mas no existe la certeza de que sea verdadera. Por esta razón, algunos matemáticos no aceptan una verdad como absoluta en tanto que no se demuestre de manera formal por medio del razonamiento deductivo.

Un razonamiento deductivo se define como la aplicación de principios generales a ejemplos específicos. 
En los siguientes ejemplos se muestra la diferencia entre un razonamiento inductivo y otro deductivo.
Ahora te presentamos un ejemplo de razonamiento deductivo, el cual es el más utilizado en problemas lógico-matemáticos.
Sin embargo, no dejamos de lado el razonamiento inductivo, que nos lleva a resolver de manera parcial o total algunos problemas. 
Premisa 1: Todos los panecillos tardan una hora en hornearse. 
Premisa 2: Son las 2 de la tarde y Adriana mete los panecillos al horno. 
Conclusión: Los panecillos estarán listos a las 3:00 pm. 
Ahora revisa algunos ejemplos de los dos tipos de razonamientos, en los cuales se utilizarán los números naturales o números cardinales. Considera la siguiente secuencia de números: 1, 8, 15, 22, 29 
¿Cuál es el número que sigue en la lista?, ¿cuál es el patrón? Si observamos y analizamos los números, vemos que 1+7= 8, y 8+7=15. ¿Sumamos 15 y 7 para obtener 22?, ¿sumamos 22 y 7 para obtener 29? Sí, efectivamente. Sumamos 7 a todo número precedente, de modo que el número siguiente de la secuencia es 36, puesto que 29+7=36. Considerando el ejemplo anterior, para identificar el siguiente número de la secuencia, utilizamos la observación, y se determina tanto el patrón como el número que sigue en la secuencia. 

Este es un ejemplo de razonamiento inductivo

Método de cuatro pasos de Polya La estrategia más conocida es la de George Polya. Nacido en Hungría en 1887, Polya fue un matemático que desarrolló diversas técnicas para la solución de problemas. Su publicación más famosa fue “How to solve it” (Cómo resolverlo), donde propuso un método de cuatro pasos para la solución de problemas. A continuación se explica en qué consiste el método de cuatro pasos de Polya para la solución de problemas

Paso1 Comprenda el problema. Usted no puede resolver un problema si no entiende qué le pidieron calcular. Se debe leer y analizar el problema cuidadosamente. Tal vez sea necesario leerlo varias veces. Después de eso, pregúntese, ¿qué debo calcular? 

Paso 2 Elabore un plan: Existen muchas maneras de enfrentar un problema. Elija un plan adecuado para el problema específico que está resolviendo. 

Paso 3 Aplique un plan: Una vez que sabe cómo enfocar el problema, ponga en práctica ese plan. Tal vez llegue a “un callejón sin salida” y encuentre obstáculos imprevistos, pero debe ser persistente. Paso 4 Revise y verifique: Revise su respuesta para ver que sea razonable. ¿Satisface las condiciones del problema? ¿Se han contestado todas las preguntas que plantea el problema? ¿Es posible resolver el problema de manera diferente y llegar a la misma respuesta? 

El paso 2 del método para la solución de problemas de Polya aconseja elaborar un plan. Aquí se presentan algunos métodos y estrategias, propuestos por Poyla, que han demostrado ser útiles. 

• Sugerencias para la solución de problemas
• Elabore una tabla o diagrama 
• Busque un patrón 
• Resuelva un problema similar más sencillo 
• Elabore un bosquejo 
• Use el razonamiento inductivo 
• Formule una ecuación y resuélvala
• Si una fórmula aplica, úsela 
• Trabaje hacia atrás 
• Suponga y verifique 
• Use ensayo y error 
• Use el sentido común 
• Busque la trampa que se le tiende en el caso de que una respuesta parezca demasiado evidente o imposible

Constante de Kaprekar
 Como puedes ver, cada uno de los problemas que acabas de revisar tiene particularidades que necesitan diversos métodos de solución. Ahora observa la siguiente reflexión que aporta un conocimiento muy útil en diferentes momentos de tu vida estudiantil.
La resolución de problemas no se aplica sólo a las matemáticas, sino que se amplían en otras ramas de la educación universitaria. Además, cuando se presenta un problema, algunas veces lo resuelves por medio de la intuición y su resultado te convence, pero existen otros que necesitan más de una predicción inductiva; necesitan estructuras, métodos, técnicas y demás herramientas que permiten llegar a su solución. ¿Alguna vez has escuchado de la constante de Kaprekar? Si no la conoces, realiza la siguiente actividad para identificarla. Selecciona un número de tres dígitos diferentes. Primero, ordénalos de manera descendente, y resta los mismos tres dígitos, pero ahora ordenados de manera ascendente.
Por ejemplo, selecciona los dígitos 1, 6 y 9, de modo que, en primera instancia, obtienes

 961-169= 792
972- 279=693
693-369=594
 954-594= 495
Observa que repitiendo el proceso, 4 veces obtuviste el número 495. A este número se le conoce como la constante de Kaprekar, en la cual el resultado siempre será 495, si el proceso se aplica a cantidades de tres dígitos.